Gráfica de funciones.

Gráfica de funciones

Tabla de valores y representación

Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definición de la función.

Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la función.

x	1	2	3	4	5
f(x)	2	4	6	8	10

Función:introdución.

Introducción

Representación gráfica de la velocidad de un cuerpo acelerado a 0,66 m/s².

Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.

Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s² recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente. Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.)

Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distintos:

Tiempo t (s)	Distancia d (m)
0,0	0,0
0,5	0,1
1,0	0,3
1,5	0,7
2,0	1,3
2,5	2,0

La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma información. Cada punto de la curva roja representa una pareja de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia entre puntos y coordenadas del plano cartesiano. También puede utilizarse un regla o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En este caso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la expresión:

d = 0,33 × t²,

donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se refleja que existe una dependencia entre ambas magnitudes.

Una función también puede reflejar la relación de una variable dependiente con varias variables independientes. Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleración constante pero indeterminada a, la distancia recorrida es una función entonces de a y t; en particular, d = a·t²/2. Las funciones también se utilizan para expresar la dependencia entre otros objetos cualesquiera, no solo los números. Por ejemplo, existe una función que a cada polígono le asigna su número delados; o una función que a cada día de la semana le asigna el siguiente:

Lunes → Martes, Martes → Miércoles,..., Domingo → Lunes

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma . donde no se anula a 
Si observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en incompletas si se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.

Resolución de una ecuación de segundo grado cuando c=0
Si c=0 la ecuación queda ax²+bx=0. 
Sacando factor cumún se tiene que x(ax+b)=0 de donde se deduce que x=0 ; ax+b=0 por lo que ax=-b ; x=-b/a. Las soluciones son x₁=0 y x₂=-b/a.
Conclusión: Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y una de las soluciones es x=0

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma . donde no se anula a 
Si observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en incompletas si se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.

Ecuación de segundo grado completa
Una ecuación de segundo grado se dice completa si a , b y c son todos no nulos. 
Para resolver estas ecuaciones aplicamos la fórmula

Ejercicio resuelto

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Ecuaciones de segundo grado.Una ecuación de segundo grado es de la forma ax2+bx+c=0. La ecuación puede tener 2 soluciones, 1 o ninguna, dependiendo del signo del discriminante D =b2-4ac. Si D<0 no hay solución. Si D=0 hay una solución. Si D>0 hay dos soluciones. ¿Cómo resolvemos unsa ecuación de segundo grado? Depende de si es completa, b y c son no nulos, o incompleta b o c son nulos, se resuelve de una forma u otra. 1. Si b=0, la ecuación queda ax2+c=0, despejando x obtendremos la solución. Resolvemos la ecuación 3x2-12=0 =>x2=12/3 =>x2=4 => hay dos soluciones x=2 x=-2. Otro ejemplo 2x2+18=0 => x2=-18/2 => x2=-9. Ningún número real al cuadrado es negativo por tanto la ecuación no tiene solución. 2. Si c=0, la ecuación queda ax2+bx=0, sacando factor común a x queda x(ax+b)=0. Si el producto es 0 será porque x=0 o bien ax+b=0 => x=-b/a. Luego hay dos soluciones que son x=0 y x=-b/a. 3. Ecuación completa ax2+bx+c=0. Para esta ecuación aplicamos la fórmula , esta fórmula también funciona en los casos anteriores. Ejemplo. Resolver x2-5x+6=0 , ¿Cuántas raíces tendrá? D =(-5)2-4·1·6=1>0 hay dos soluciones Hay dos soluciones x=(5+1)/2=3 y x=(5-1)/2=2 Otro ejemplo. Resolver 2x2-3x+4=0 Veamos si tiene solución D =(-3)2-4·2·4=9-32=-23<0 la ecuación no tiene solución video you tube de ecuaciones 2º grado completas

ecuaciones de 2º grado

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma . donde no se anula a 
Si observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en incompletas si se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.

Número de soluciones 
Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores al ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una identidad.
LLamamos discriminante   , en función del signo del discriminante conoceremos el número de soluciones de la ecuación, así:

1. Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución.
2. Si el discriminante es 0 hay una solución.
3. Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.

Resolución de una ecuación de segundo grado cuando b=0.
Si b=0 la ecuación queda ax²+c=0 , despejando se llega:

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado, ejemplos y ejercicios resueltos de ecuaciones con paréntesis y denominadores.

Matemáticas  3º de ESO  6.1 Ecuaciones de primer grado. Ejemplos

Concepto de ecuación

Para que exista una ecuación tiene que haber algo igual a algo. Una ecuación es de primer grado cuando la x (la variable) está elevada a uno.

Pasos para resolver una ecuación de primer grado

1. Si hay denominadores, los reducimos a común denominador (calculando el m.c.m ) y suprimimos los denominadores.

2. Quitamos los paréntesis aplicando la regla de los signos. Al final tendremos a ambos lados del igual, sólo sumas y restas, unos términos llevaran x y otros no.

3. Trasposición de términos: Pasamos todos los términos con x a un lado de la ecuación, los números al otro lado.

4. Agrupamos los términos semejantes y al final despejamos la x obteniendo la solución.

5. Comprobamos la solución sustituyendo el valor de la x obtenida en la ecuación. Nos tiene que dar el mismo resultado a ambos lados de la ecuación.

Soluciones de una ecuación de primer grado. Ejemplos

Un número real: es cuando normalmente decimos que nos da solución.

x + 3 = 5 x + 11   ⇒   x - 5 x = 11 - 3   ⇒   - 4 x = 8   ⇒   x = 8 / - 4   ⇒ x = - 2

Todo número real: nos da    ⇒  0 x = 0. Tiene solución para cualquier valor de x, decimos que tiene infinitas soluciones.

13 - 3 x - 9 = 8 x + 4 - 11 x   ⇒   - 3 x - 8 x + 11 x = 4 + 9 - 13   ⇒   0 = 0

Incompatible: se anulan las x y nos da   ⇒  0 x = número. No tiene solución.

6 + 5 x + 2 = 4 x - 2 + x   ⇒    5 x - 4 x - x = - 2 - 6 - 2    ⇒   0 x = - 10

Ejercicios resueltos

ejemplo de ecuaciones primer grado